वैदिक गणित: मिथक बनाम तथ्य। भारती कृष्ण तीर्थ के 16 सूत्र, वे कहाँ से आए और आज भी क्या काम का है

संक्षिप्त उत्तर: "वैदिक गणित" पुरी के गोवर्धन मठ के शंकराचार्य भारती कृष्ण तीर्थ की 1965 की पुस्तक है, जो 16 छोटे संस्कृत सूत्रों और 13 उपसूत्रों पर आधारित है। तीर्थ ने कहा था कि ये अथर्ववेद के एक परिशिष्ट से आए हैं, पर किसी को भी ये किसी वैदिक ग्रंथ में नहीं मिले, और पुस्तक के अपने संपादक ने स्वीकार किया कि ये ज्ञात ग्रंथों में नहीं हैं। गणित के इतिहासकार सहमत हैं कि ये सूत्र वैदिक नहीं हैं। मिथक: प्राचीन वैदिक विधियाँ जो पूरे गणित को समेटे हुए हैं। तथ्य: 20वीं सदी का चतुर मानसिक-गणना युक्तियों का संग्रह, जिनमें से कुछ विशेष स्थितियों में सचमुच तेज़ हैं। युक्तियों का आनंद लें, और भारत की वास्तविक गणितीय विरासत का उत्सव अलग से मनाएँ।

शुरुआत में एक आश्चर्यजनक सच्चा तथ्य

"वैदिक" लेबल के विरुद्ध सबसे महत्वपूर्ण प्रमाण स्वयं पुस्तक के भीतर छपा है। इसके प्रधान संपादक वी. एस. अग्रवाल ने अपनी प्रस्तावना में लिखा कि सूत्रों की शैली "स्वयं श्री स्वामीजी द्वारा उनकी खोज" की ओर संकेत करती है। केंटकी विश्वविद्यालय (University of Kentucky) के अविनाश साठये बताते हैं कि अग्रवाल मानते हैं कि दावा किए गए परिशिष्ट को "बस एक नया परिशिष्ट माना जाना चाहिए जो स्वयं स्वामीजी का है" (स्रोत: अविनाश साठये, केंटकी विश्वविद्यालय)।

पुस्तक और उसके लेखक

भारती कृष्ण तीर्थ 1925 से 1960 में अपने देहावसान तक पुरी के गोवर्धन मठ के शंकराचार्य रहे। वैदिक गणित उनके निधन के पाँच वर्ष बाद, 1965 में मोतीलाल बनारसीदास द्वारा वी. एस. अग्रवाल के संपादन में प्रकाशित हुई। तीर्थ दशकों तक व्याख्यानों और श्यामपट पर प्रदर्शनों के माध्यम से इन विधियों का प्रचार करते रहे थे (स्रोत: एस. जी. दानी, 'Myths and Reality: On "Vedic Mathematics"', arXiv:math/0611347 में पुनर्मुद्रित)।

एक आध्यात्मिक गुरु के रूप में तीर्थ के प्रति सम्मान और उनकी विधियों के प्रति उत्साह, सूत्रों के स्रोत पर ईमानदार दृष्टि के साथ-साथ चल सकते हैं। यही इस मार्गदर्शिका की भावना है।

16 सूत्र: छोटे वाक्यांश, अनेक उपयोग

दानी सूत्रों को लगभग दो से चार शब्दों के वाक्यांश बताते हैं — 16 सूत्र और 13 उपसूत्र। तीन प्रसिद्ध सूत्र:

एक विशेषता ने समीक्षकों को उलझन में डाला: तीर्थ ने एक ही सूत्र को कई असंबंधित प्रक्रियाओं पर लागू किया। एकाधिकेन पूर्वेण का प्रयोग 1/19 के दशमलव विस्तार और 5 पर समाप्त होने वाली संख्याओं के वर्ग, दोनों के लिए होता है (स्रोत: एस. जी. दानी)।

हल किए गए उदाहरण: वे युक्तियाँ जो सचमुच मदद करती हैं

1. 5 पर समाप्त होने वाली संख्या का वर्ग (एकाधिकेन पूर्वेण)

1. 35 लीजिए। 5 से पहले का अंक 3 है।
2. 'पिछले वाले से एक अधिक': 3 + 1 = 4। गुणा करें: 3 x 4 = 12।
3. इसके बाद 25 लिखें: 1225। जाँच: 35 x 35 = 1225।
4. 85 आज़माएँ: 8 x 9 = 72, फिर 25, यानी 7225।

2. 100 के निकट की संख्याओं का गुणन (निखिलम्)

1. 97 x 96 लीजिए। 100 से इनकी कमी 3 और 4 है।
2. तिरछा घटाएँ: 97 - 4 = 93 (या 96 - 3 = 93)। यह बायाँ भाग है।
3. कमियों का गुणा करें: 3 x 4 = 12। यह दायाँ भाग है (दो अंक)।
4. उत्तर: 9312। जाँच: 97 x 96 = 9312।

3. ऊर्ध्वाधर और तिर्यक (ऊर्ध्व-तिर्यग्भ्याम्)

1. 23 x 41 लीजिए।
2. बाईं ओर ऊर्ध्वाधर: 2 x 4 = 8।
3. तिर्यक: (2 x 1) + (3 x 4) = 2 + 12 = 14।
4. दाईं ओर ऊर्ध्वाधर: 3 x 1 = 3।
5. दाईं ओर से हासिल लेते हुए जोड़ें: 3; फिर 14 से 4, हासिल 1; फिर 8 + 1 = 9। उत्तर: 943।

ये वास्तविक और संतोषजनक हैं। दानी पुस्तक को "प्रारंभिक अंकगणित और बीजगणित की युक्तियों का संकलन" कहते हैं; कुछ "काफ़ी रोचक" हैं और सामान्य विधियों से तेज़ हैं, पर सामान्य प्रश्नों में इनमें लगभग उतना ही परिश्रम लगता है। ध्यान दें कि पहली दो युक्तियाँ केवल विशेष स्थितियों में काम करती हैं: 5 पर समाप्त होने वाली संख्याएँ, या 100 के निकट की संख्याएँ। साठये भिन्नों के दशमलव विस्तार की विधि और सार्वत्रिक विभाज्यता परीक्षण को गणितीय दृष्टि से रोचक भाग मानते हैं (स्रोत: एस. जी. दानी)।

ऊर्ध्वाधर-और-तिर्यक विचार ने इंजीनियरिंग में भी जगह बनाई है: हार्डवेयर "वैदिक मल्टीप्लायर" VLSI और FPGA शोध-पत्रों में एक सक्रिय विषय हैं। तिवारी, गणखुयाग, किम और चो के 2008 के एक IEEE सम्मेलन शोध-पत्र में ऐसे FPGA मल्टीप्लायर और स्क्वेयरर की सूचना दी गई जो ऐरे और बूथ मल्टीप्लायरों से तेज़ थे। दानी का तर्क था कि इसके मूल सिद्धांत "पेशेवर क्षेत्रों में बिल्कुल भी अपरिचित नहीं" थे, और विकिपीडिया बताता है कि इस प्रकार के कई प्रस्तावित एल्गोरिदम की समय-जटिलता पारंपरिक विधियों से अधिक है (स्रोत: IEEE Xplore, DOI 10.1109/SOCDC.2008.4815685)।

सूत्र कहाँ से आए?

अपनी भूमिका में तीर्थ ने लिखा कि सूत्र "अथर्ववेद के परिशिष्ट (परिशिष्ट भाग) में निहित" हैं। दानी बताते हैं कि यह सरसरी उल्लेख ही अब तक दिया गया एकमात्र स्रोत है। के. एस. शुक्ल ने याद किया कि वे 1950 में लखनऊ में परिशिष्टों के मानक बोलिंग और फ़ॉन नेगेलाइन संस्करण के साथ तीर्थ से मिले थे; तीर्थ ने उनसे कहा कि सूत्र "उनके अपने परिशिष्ट में हैं, किसी अन्य में नहीं" (स्रोत: एस. जी. दानी)।

अग्रवाल ने इस लेबल का बचाव ग्रंथीय नहीं, आदर्शवादी आधार पर किया। उन्होंने लिखा कि तीर्थ ने वेदों को "आदर्श दृष्टिकोण" से देखा, यानी समस्त ज्ञान के पारंपरिक भंडार के रूप में वेद "क्या होने चाहिए", इसलिए वैदिक गणित के कर्तृत्व को "प्राचीन काल से सुरक्षित ग्रंथों में परिश्रमपूर्वक खोजने की आवश्यकता नहीं" है (स्रोत: कंदसामी और स्मरांडाके, अग्रवाल को उद्धृत करते हुए, arXiv:math/0611347)।

दानी, शुक्ल, किम प्लॉफ़कर और यान होगेनडाइक सहित गणित के इतिहासकार बताते हैं कि वेदों में न कोई सूत्र है और न कोई उपसूत्र। दानी जोड़ते हैं कि इसकी सामग्री का वैदिक काल के गणित से "व्यावहारिक रूप से कुछ भी साझा नहीं" है, जो शुल्बसूत्र जैसे ग्रंथों में सुरक्षित है (स्रोत: विकिपीडिया, 'Vedic Mathematics')।

मिथक बनाम तथ्य

स्कूलों में वैदिक गणित: बहस

• 1990 के दशक की शुरुआत: उत्तर प्रदेश की स्कूली पाठ्यपुस्तकों ने इस सामग्री को ऐसे प्रस्तुत किया मानो यह वेदों से आई हो (स्रोत: एस. जी. दानी)।
• 2001: यशपाल, जे. वी. नार्लीकर, एम. एस. रघुनाथन और एस. जी. दानी सहित 100 से अधिक वैज्ञानिकों और गणितज्ञों ने 'Neither Vedic Nor Mathematics' (न वैदिक, न गणित) वक्तव्य पर हस्ताक्षर किए, जिसमें NCERT की योजना का विरोध करते हुए कहा गया कि इस विषय का "मूल्य अधिक से अधिक मनोरंजक है और इसका शैक्षिक उपयोग सीमित है" (स्रोत: arXiv:math/0611347, खंड 2.2)।
• दिसंबर 2021: गुजरात ने 2022-23 से कक्षा 6 से 10 के लिए वैदिक गणित की घोषणा की; शिक्षाविदों ने कहा कि यह केवल आधुनिक गणित का पूरक हो सकता है (स्रोत: Careers360)।
• 2022: हिमाचल प्रदेश स्कूल शिक्षा बोर्ड ने कक्षा छह से इसकी घोषणा की; आलोचकों ने इसे भगवाकरण कहा (स्रोत: NewsGram (IANS))।
• 2025: सरकार ने राज्यसभा को बताया कि दिल्ली विश्वविद्यालय और BHU सहित सात विश्वविद्यालयों ने वैदिक गणित के पाठ्यक्रम शुरू किए हैं (स्रोत: Careers360)।

विदेश में रहने वाले जो माता-पिता सप्ताहांत की वैदिक गणित कक्षा पर विचार कर रहे हैं: इसे मानसिक गणित के एक मज़ेदार पूरक के रूप में देखें, नियमित पाठ्यक्रम के विकल्प के रूप में नहीं, और वैदिक शास्त्र के रूप में तो बिल्कुल नहीं।

भारत की वास्तविक गणितीय विरासत

विडंबना यह है कि भारत को किसी उधार के लेबल की आवश्यकता ही नहीं है। वास्तविक वैदिक-युगीन गणित शुल्बसूत्रों में सुरक्षित है, जहाँ बौधायन शुल्बसूत्र उस प्रमेय का कथन करता है जिसे आज पाइथागोरस प्रमेय कहा जाता है (स्रोत: एस. जी. दानी)। लगभग 5वीं से 2वीं सदी ईसा पूर्व के बीच के माने जाने वाले पिंगल के छंद-अध्ययन ने अक्षर-विन्यासों को सूचीबद्ध करने और क्रमांकित करने की पुनरावर्ती विधियाँ दीं (स्रोत: जयंत शाह)। लगभग 1400 के आसपास संगमग्राम के माधव ने ज्या (साइन), कोज्या (कोसाइन) और व्युत्क्रम स्पर्शज्या (आर्कटैन्जेंट) के तुल्य अनंत श्रेणियाँ खोजीं, और उन्हें 11 दशमलव स्थानों तक सही पाई (π) का श्रेय दिया जाता है (स्रोत: MacTutor, 'Madhava')। पूरी कहानियाँ हमारी इन मार्गदर्शिकाओं में पढ़ें: पिंगल की बाइनरी-जैसी संख्याएँ और माधव और केरल गणित-परंपरा।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

क्या वैदिक गणित सचमुच वेदों से है?

इसका कोई ग्रंथीय प्रमाण नहीं है। 16 सूत्र किसी भी वैदिक ग्रंथ में नहीं मिले हैं, और उन्हें समाहित करने वाली कोई पांडुलिपि आज तक नहीं पहचानी गई। पुस्तक के अपने प्रधान संपादक वी. एस. अग्रवाल ने स्वीकार किया कि वे ज्ञात परिशिष्टों में नहीं हैं, और एस. जी. दानी, के. एस. शुक्ल तथा किम प्लॉफ़कर (Kim Plofker) सहित इतिहासकार सहमत हैं कि वे वेदों में नहीं हैं।

वैदिक गणित किसने लिखा?

भारती कृष्ण तीर्थ ने, जो 1925 से 1960 में अपने देहावसान तक पुरी के गोवर्धन मठ के शंकराचार्य रहे। पुस्तक 1965 में मोतीलाल बनारसीदास द्वारा वी. एस. अग्रवाल के संपादन में प्रकाशित हुई, हालाँकि तीर्थ दशकों से व्याख्यानों में इन विधियों का प्रदर्शन करते आ रहे थे।

क्या वैदिक गणित की युक्तियाँ उपयोगी हैं?

कुछ हैं। एस. जी. दानी इनमें से कुछ को 'काफ़ी रोचक' और विशेष स्थितियों में, जैसे 5 पर समाप्त होने वाली संख्याओं का वर्ग करने में, सामान्य विधियों से तेज़ बताते हैं। सामान्य प्रश्नों में इनमें लगभग उतना ही परिश्रम लगता है जितना सामान्य विधियों में। ये मानसिक गणित के पूरक के रूप में सबसे अच्छी हैं, स्कूली गणित के विकल्प के रूप में नहीं।

क्या वैदिक गणित में कलन (कैलकुलस) शामिल है?

किसी वास्तविक अर्थ में नहीं। तीर्थ का दावा था कि गणित का कोई भी भाग सूत्रों की पहुँच से बाहर नहीं है, पर दानी ने पाया कि 'क्रमिक अवकलन' वाला अध्याय केवल बहुपदों के अवकलन तक सीमित है, जिसे वे प्रारंभिक बीजगणित कहते हैं जो 'कलन की आत्मा से ही रहित' है।

क्या वैदिक गणित भारतीय स्कूलों और विश्वविद्यालयों में पढ़ाया जाता है?

कुछ स्थानों पर। उत्तर प्रदेश ने 1990 के दशक की शुरुआत में इसे पाठ्यपुस्तकों में डाला, गुजरात ने 2022-23 से कक्षा 6 से 10 के लिए इसकी घोषणा की, हिमाचल प्रदेश ने 2022 में कक्षा छह से इसकी घोषणा की, और 2025 में सरकार ने राज्यसभा को बताया कि सात विश्वविद्यालयों ने इसके पाठ्यक्रम शुरू किए हैं।

मैं अपने बच्चों को कौन-सा वास्तविक प्राचीन भारतीय गणित सिखा सकता हूँ?

बहुत कुछ: बौधायन शुल्बसूत्र में 'पाइथागोरस' प्रमेय का कथन, पिंगल द्वारा अक्षर-विन्यासों की गणना, हलायुध की टीका में मेरु प्रस्तार (पास्कल त्रिभुज), और संगमग्राम के माधव की अनंत श्रेणियाँ, जिनमें 11 दशमलव स्थानों तक सही पाई (π) का मान भी है।

संबंधित मार्गदर्शिकाएँ

• पिंगल, बाइनरी-जैसी संख्याएँ और मेरु प्रस्तार
• माधव और केरल गणित-परंपरा: अनंत श्रेणियाँ और पाई
• पाणिनि की अष्टाध्यायी और कंप्यूटर विज्ञान
• NASA-संस्कृत कंप्यूटर मिथक और रिक ब्रिग्स (1985)
• पवित्र हिंदू संख्याएँ: 108 की कहानी

संपादकीय टिप्पणी (9 अक्टूबर 2026)

इस पृष्ठ के तथ्य और उद्धरण पाठ में दिए गए लिंक वाले स्रोतों से लिए गए हैं, मुख्यतः एस. जी. दानी का 'Myths and Reality' (फ्रंटलाइन 1993, अद्यतन करके arXiv:math/0611347 में पुनर्मुद्रित), अविनाश साठये, विद्वानों की सर्वसम्मति का विकिपीडिया सारांश और स्कूली पाठ्यक्रमों पर समाचार रिपोर्टें, जिनकी जाँच 9 अक्टूबर 2026 को की गई। हल किए गए उदाहरण पुस्तक में वर्णित विधियों के हमारे अपने उदाहरण हैं। हम भारती कृष्ण तीर्थ का एक आध्यात्मिक गुरु के रूप में सम्मान करते हैं; यह लेख केवल इस ऐतिहासिक दावे का आकलन करता है कि सूत्र वैदिक हैं।